穹頂天魂的新書

第229章 蠻星之主一 (第8/9頁)

理解，讓我們回到格林函式的問題（方程 6）。

L?G(x,x')=δ(x-x')

或者如果運算元是自伴隨的：

LG(x,x')=δ(x-x')

如果δ函式類似於 1 或恆等函式，那麼格林函式似乎類似於線性運算元 L 的逆。

為了更清楚地看到這一點，讓我們回到原始問題，

Lu(x)=f(x)

如果格林函式類似於 L 的逆，如果乘以 G，即與格林函式取內積，則可以“撤銷” L 的作用並求解 u。

方程 20:

＜G,Lu＞=＜G,f＞

根據伴隨的定義（方程 7），我們可以將 L 作用於 u 替換為 L 的伴隨作用於 G。根據格林函式的定義，這與δ函式相同。

方程 21:

＜G,Lu＞=＜L?G,u＞=(δx,u)=U(x)

對於右手邊：

方程 22:U(x)=＜G,f＞=∫G(x,x')f(x)'dx

就是這樣。如果格林函式 G，我們透過與源函式 f 取積分來求解 u，類似於用 L 的逆乘以 f。

方程 23:

G∽L^-1

需要明確的是，像與普通乘法的卷積一樣，這並不是一個完美的等價。L 甚至可能是不可逆的，但仍然可以有格林函式。這更多是一種關於 G 的“操作性”思考方式。

你應該開始看到格林函式的威力了。如果我們直接解原始問題，我們只需要解一個特定的源函式。對於格林函式，我們可以求解任意選擇的源，但是要“反轉”運算元L。

關於格林函式的一個重要細節是它們總是至少有兩個引數的函式，我們稱其為x和x ' G(x, x ')格林函式似乎是一種將x '處的源和x處的解聯絡起來的方法，我們在x處求解u的值。

看看方程 22 的右手邊，你可以看到積分接近卷積的形式。如果 G(x, x′ ) = G(x–x ′ )，它將是精確的。事實證明，如果線性運算元 L 具有平移對稱性，通常會出現這種情況。例如，當運算元是常數係數的導數之和時，如拉普拉斯運算元。在這些情況下，確實有一個完全的卷積。

方程 24:

U(x)=∫G(x-x')f(x')dx=G*f

引入物理

舊電壓表

我們可以用數學的方式來考慮格林函式作為運算元的逆函式，當我們在求內積時，把函式看成是1。但我們如何從物理上理解格林函式呢?

說明這一點的最簡單方式是用一個例子。讓我們為泊松方程求解格林函式（上述方程 3）。回想一下，我們試圖找到電勢（電壓），給定空間中的某些電荷分佈，後者我們用電荷密度 p(r) 表示。

泊松方程:

-▽^2V(r)=e0^-1p(r)

其中 ?0 是一個常數，稱為自由空間的電容率。

這是一個“靜電”問題。我們假設電荷不動。沒有電流存在，否則除了電勢，我們還需要考慮磁勢來完全解出這個方程組。

雖然這是一個簡化，但這仍然是一個非常困難的問題，所以找到格林函式是值得的。不僅如此，這實際上是一個物理電荷分佈。如果我們考慮一個電子，它只是一個帶電荷的點。它的密度是

方程 25 電子的電荷密度:

p(r)=-eδ(r)

相比之下，質子是一個複合粒子。我們可以使用量子力學為其指定一個有效的“大小”，但幾乎在所有實際應用中，它同樣只是一個帶有正電荷 +e 的點，具有相同的δ函式電荷密度。

同樣的考慮可以應用於大多數實際尺度的整個原子，例如，耳機或麥克風中的釹離子具有近似的電荷密度：

釹離子（Nd+3）的電荷密度。

p(r)=+3eδ(r)

因為釹喜歡失去3個電子。

這告訴我們的是，泊松方程的格林函式是點電荷的電勢，模取常數。

由於任意電荷分佈按定義是點電荷的總和，且因為泊松方程是線性的，因此電勢是具有權重因子 p(r) 的格林函式的總和。

這就是我們對函式的數學理解作為一種“單位向量”的由來。一般來說，求解格林函式類似