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dx 表示對 x 的微分,積分割槽間 [a, b] 是定義內積的區間。這個內積滿足內積空間的公理,包括對稱性、線性性和正定性。

如果考慮的是帶有權重 w(x) 的函式空間,那麼內積的定義會包含這個權重函式:

?f, h? = ∫[a, b] f(x) * h(x) * w(x) dx

權重函式 w(x) 可以是任何非負的可積函式,它在積分中起到調整不同部分重要性的作用。例如,在機率論中,權重函式可能代表機率密度函式,而在其他應用中,它可能有不同的解釋。

需要注意的是,內積的定義不是唯一的,它可以依賴於特定的應用和所考慮的函式空間。在某些情況下,內積可能還包括複共軛,尤其是在處理複數域上的函式空間時。例如,在複數域上的 L2 空間,內積定義為:

?f, h? = ∫[a, b] f(x) * conj(h(x)) dx

這裡,conj(h(x)) 表示 h(x) 的複共軛。

總結來說,函式 f 和 h 之間的內積通常透過積分來定義,具體形式取決於所考慮的函式空間和應用背景。在實數或複數域上,內積可能包括函式乘積的積分,有時還會加上權重函式或複共軛。若是區間在[-∞,∞]之間,則

卷積實際上只是函式向量空間中的內積,其中一個函式按我們選擇的量進行了移位。或者你可以這樣說,卷積代表了與一些函式集相關的一組內積,這些函式透過移位函式引數聯絡起來。

現在在普通的 3d 空間中,我們可以將任何向量表示為三個單位向量(每個方向長度為 1 的向量)的和,其中每個方向是一個維度。我們說這些向量跨越了整個向量空間,這意味著我們可以寫出任何向量:

方程 16:

V=Vx*x+Vy*Y+Vz*Z

x 帽是 x 方向的單位向量。其他方向也是如此。

我們可以將分量 v_x, v_y, v_z 定義為與單位向量進行點積的結果:

<x*V>=x*V=Vx

那麼函式的“分量”的等價物是什麼呢?檢視方程 15 中內積的定義,這個分量就是f(x)或者函式在x點的值。

這就是函式向量空間和普通三維空間的巨大區別。如果我們考慮的是為所有實數x定義的函式,這意味著向量或函式,有無窮多個分量。換句話說,函式向量空間有無限維。

這確實引入了一些複雜性(例如,隨著 x -> 無限大,內積 15 可能會增長到無限大),我們現在將忽略這些細節,假設函式都表現良好。

有了這種對 f(x) 的理解,讓我們重新寫篩選性質

方程 17:

f(x)=∫f(x)δ(x-x')dx'=∫δ(x-x')f(x)dx'

認識到積分是內積,這與下式相同

方程 18:

f(x)=<δx,f>

其中我使用 δ_x 作為位置 x 的 delta 函式的簡寫。

由於 f(x) 類似於在位置 x 的 f 的“分量”,與位於 x 處的 delta 函式取內積類似於與單位向量取點積。或者換句話說,delta 函式就像函式向量空間中的單位向量,挑選出位置 x 處的值或分量,就像 3d 空間中的普通點積一樣。

所以讓我們回顧一下。我們介紹了關於 delta 函式的兩種思考方式:

? 它在函式卷積中扮演恆等角色,或乘以 1 的角色。換句話說,delta 函式有點像 1。

? 在考慮函式的向量空間時,函式扮演著“單位向量”的角色。將“點積”與δ(x - x ')相乘,得到向量在位置x處的分量,也就是函式在x處的值,或者f(x)。

最後一件事:到目前為止關於內積的討論是關於實值向量的。擴充套件到復值空間很簡單,只需要對第一個引數取複共軛。就比如狹義相對論中的洛倫茲變換?

對於實變數上的函式:

方程19:<f,h>=∫±∞f(x)h(x)dx

這可能是一個次要點,但在開始思考量子力學中的格林函式時很重要。

回到格林函式

思考格林函式的一個提示

有了對δ函式的

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