穹頂天魂的新書

第229章 蠻星之主一 (第7/9頁)

dx 表示對 x 的微分，積分割槽間 [a, b] 是定義內積的區間。這個內積滿足內積空間的公理，包括對稱性、線性性和正定性。

如果考慮的是帶有權重 w(x) 的函式空間，那麼內積的定義會包含這個權重函式：

?f, h? = ∫[a, b] f(x) * h(x) * w(x) dx

權重函式 w(x) 可以是任何非負的可積函式，它在積分中起到調整不同部分重要性的作用。例如，在機率論中，權重函式可能代表機率密度函式，而在其他應用中，它可能有不同的解釋。

需要注意的是，內積的定義不是唯一的，它可以依賴於特定的應用和所考慮的函式空間。在某些情況下，內積可能還包括複共軛，尤其是在處理複數域上的函式空間時。例如，在複數域上的 L2 空間，內積定義為：

?f, h? = ∫[a, b] f(x) * conj(h(x)) dx

這裡，conj(h(x)) 表示 h(x) 的複共軛。

總結來說，函式 f 和 h 之間的內積通常透過積分來定義，具體形式取決於所考慮的函式空間和應用背景。在實數或複數域上，內積可能包括函式乘積的積分，有時還會加上權重函式或複共軛。若是區間在[-∞,∞]之間，則

卷積實際上只是函式向量空間中的內積，其中一個函式按我們選擇的量進行了移位。或者你可以這樣說，卷積代表了與一些函式集相關的一組內積，這些函式透過移位函式引數聯絡起來。

現在在普通的 3d 空間中，我們可以將任何向量表示為三個單位向量（每個方向長度為 1 的向量）的和，其中每個方向是一個維度。我們說這些向量跨越了整個向量空間，這意味著我們可以寫出任何向量：

方程 16:

V=Vx*x+Vy*Y+Vz*Z

x 帽是 x 方向的單位向量。其他方向也是如此。

我們可以將分量 v_x, v_y, v_z 定義為與單位向量進行點積的結果：

＜x*V＞=x*V=Vx

那麼函式的“分量”的等價物是什麼呢？檢視方程 15 中內積的定義，這個分量就是f(x)或者函式在x點的值。

這就是函式向量空間和普通三維空間的巨大區別。如果我們考慮的是為所有實數x定義的函式，這意味著向量或函式，有無窮多個分量。換句話說，函式向量空間有無限維。

這確實引入了一些複雜性（例如，隨著 x -＞ 無限大，內積 15 可能會增長到無限大），我們現在將忽略這些細節，假設函式都表現良好。

有了這種對 f(x) 的理解，讓我們重新寫篩選性質

方程 17:

f(x)=∫f(x)δ(x-x')dx'=∫δ(x-x')f(x)dx'

認識到積分是內積，這與下式相同

方程 18:

f(x)=＜δx，f＞

其中我使用 δ_x 作為位置 x 的 delta 函式的簡寫。

由於 f(x) 類似於在位置 x 的 f 的“分量”，與位於 x 處的 delta 函式取內積類似於與單位向量取點積。或者換句話說，delta 函式就像函式向量空間中的單位向量，挑選出位置 x 處的值或分量，就像 3d 空間中的普通點積一樣。

所以讓我們回顧一下。我們介紹了關於 delta 函式的兩種思考方式：

? 它在函式卷積中扮演恆等角色，或乘以 1 的角色。換句話說，delta 函式有點像 1。

? 在考慮函式的向量空間時，函式扮演著“單位向量”的角色。將“點積”與δ(x - x ')相乘，得到向量在位置x處的分量，也就是函式在x處的值，或者f(x)。

最後一件事：到目前為止關於內積的討論是關於實值向量的。擴充套件到復值空間很簡單，只需要對第一個引數取複共軛。就比如狹義相對論中的洛倫茲變換？

對於實變數上的函式：

方程19:＜f,h＞=∫±∞f(x)h(x)dx

這可能是一個次要點，但在開始思考量子力學中的格林函式時很重要。

回到格林函式

思考格林函式的一個提示

有了對δ函式的