crossorigin="anonymous">

穹頂天魂提示您:看後求收藏(奇妙書庫www.qmshu.tw),接著再看更方便。

向量一個標量值,並且滿足一定的性質。在三維歐幾里得空間中,內積通常指的是點積,但在更一般的向量空間中,內積的概念被擴充套件以適應不同的幾何和代數結構。

三維空間中的點積定義如下:給定兩個向量 a = [a1, a2, a3] 和 b = [b1, b2, b3],它們的點積(記作 a · b)定義為:

a · b = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3

點積有以下性質:

交換律:a · b = b · a

分配律:a · (b + c) = a · b + a · c

結合律:(ka) · b = a · (kb) = k(a · b),其中 k 是標量

正定性:a · a ≥ 0,且 a · a = 0 當且僅當 a = 0

在更一般的向量空間中,內積的定義需要滿足以下公理:

對稱性:?a, b? = ?b, a?

線性性:?ka, b? = k?a, b? 和 ?a + b, c? = ?a, c? + ?b, c?

正定性:?a, a? ≥ 0,且 ?a, a? = 0 當且僅當 a = 0

在不同的向量空間中,內積的具體表示式可能會有所不同,但它總是保留了這些基本的代數和幾何性質。例如,在複數向量空間中,內積可能包含共軛操作;在無窮維函式空間中,內積可能是兩個函式的積分乘積。

總之,內積是點積的概括,它不僅適用於三維歐幾里得空間,還適用於更廣泛的數學和物理問題中。內積的概念在泛函分析、量子力學、訊號處理等領域都有重要應用。

在向量空間中,向量的模(或長度、範數)是指向量的大小或絕對值。對於具有內積的向量空間,模可以透過內積來定義。在三維歐幾里得空間中,向量的模通常是指向量的長度,可以透過點積來計算。

對於一個三維向量 v = [v1, v2, v3],其模(記作 ||v||)可以透過以下公式計算:

||v|| = √(v12 + v22 + v32)

這個公式實際上是利用了點積的性質,特別是向量與其自身的點積等於其模的平方:

v · v = v12 + v22 + v32 = ||v||2

因此,我們可以透過取平方根來得到模。

在更一般的內積空間中,向量的模可以透過內積來定義。給定向量 v,其模定義為:

||v|| = √?v, v?

這裡,?v, v? 表示向量 v 與其自身的內積。這個定義保證了模是非負的實數,並且當且僅當向量為零向量時,模等於零。

模的概念在數學和物理學中非常重要,因為它與向量的幾何屬性密切相關,比如距離、大小和方向。在物理學中,向量的模經常用來表示物理量的大小,例如力的大小、速度的大小等。在數學中,模的概念也被推廣到了更一般的抽象空間,如賦範空間和巴拿赫空間,成為分析和幾何中的基本概念之一。

? 在普通的(3d)空間中,向量只是箭頭。它們指向一個方向並具有長度,我們稱之為大小。分量是指向上或向下、向左或向右等方向的分量。

內積只是一個規則,或一個對映,用來將兩個向量對映到一個數字。透過方程 14,規則是取每個方向(x,y,z)的分量,將這些分量相乘並求和。

現在將其與方程 12 中卷積的定義比較,我們可以看到卷積所做的事情相同,只是使用的是函式:我們在每個點乘以兩個函式並求和。更一般地,我們定義函式 f 和 h 之間的內積:

方程 15:

在函式空間中,兩個函式 f(x) 和 h(x) 之間的內積通常定義為一個積分,這個積分依賴於具體的內積空間和所考慮的函式型別。在許多情況下,特別是在實數域上的函式空間,內積可以定義為兩個函式的乘積在某個區間上的積分,再加上可能的權重函式。

一個典型的例子是在實數域上的 L2 空間,其中函式 f(x) 和 h(x) 的內積定義為:

?f, h? = ∫[a, b] f(x) * h(x) dx

這裡,a 和 b 是積分的上下限,

遊戲競技推薦閱讀 More+
法師路 作者:七重地獄九重殿

法師路 作者:七重地獄九重殿

低訴
遊戲 完結 228萬字
高武:我穿越成反派,女主黑化了

高武:我穿越成反派,女主黑化了

青小羽
【無敵風格、不虐、多系統、】穿越到靈氣復甦世界的王邪很懵逼,鮮花灑滿紅毯,他在婚禮現場?他是一個貴族反派!要和女主角結婚? 這劇情他熟!男主被分手,遭到莫大屈辱,然後覺醒金手指,吊打反派富二代,從此走上人生巔峰!而他現在就是那個悲催貴族二代!不出三天身為炮灰的他就會死在男主的手裡! 幸好他有大反派系統,打壓主角就能得到豐厚獎勵,從此開始逆天改命,運籌帷幄,一步步將主角踩在腳下,一步步讓女主身心臣
遊戲 連載 523萬字
反恐輕騎兵

反恐輕騎兵

圈圈
遊戲 完結 15萬字
隔壁家的二王爺

隔壁家的二王爺

閒來一看
遊戲 完結 6萬字
[柯]當我選擇全要以後

[柯]當我選擇全要以後

一見若花
【第三人稱,平行世界,日常短文。練筆,開頭待大修,爭取十萬完結】【原創預收《可惜我只愛錢》,文案見最下方】——本文文案—— 你,富婆。 剛回日本,順便繼承你父親的遺產。 你本想做一個貌美多金的普通人,只是你的管家怕你憂思過度,貼心地為你找來四位帥哥,試圖讓你走出悲傷的陰影。 聽管家說,這四位原來在一家酒廠上班,後來因為酒廠賣假酒倒閉了,所以不得已出來謀生。 你掃了一眼四位都狂踩你XP的男人,再凝
遊戲 連載 1萬字
愛上別人的他

愛上別人的他

樂樂陶陶
遊戲 完結 8萬字