穹頂天魂的新書

第229章 蠻星之主一 (第6/9頁)

向量一個標量值，並且滿足一定的性質。在三維歐幾里得空間中，內積通常指的是點積，但在更一般的向量空間中，內積的概念被擴充套件以適應不同的幾何和代數結構。

三維空間中的點積定義如下：給定兩個向量 a = [a1, a2, a3] 和 b = [b1, b2, b3]，它們的點積（記作 a · b）定義為：

a · b = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3

點積有以下性質：

交換律：a · b = b · a

分配律：a · (b + c) = a · b + a · c

結合律：(ka) · b = a · (kb) = k(a · b)，其中 k 是標量

正定性：a · a ≥ 0，且 a · a = 0 當且僅當 a = 0

在更一般的向量空間中，內積的定義需要滿足以下公理：

對稱性：?a, b? = ?b, a?

線性性：?ka, b? = k?a, b? 和 ?a + b, c? = ?a, c? + ?b, c?

正定性：?a, a? ≥ 0，且 ?a, a? = 0 當且僅當 a = 0

在不同的向量空間中，內積的具體表示式可能會有所不同，但它總是保留了這些基本的代數和幾何性質。例如，在複數向量空間中，內積可能包含共軛操作；在無窮維函式空間中，內積可能是兩個函式的積分乘積。

總之，內積是點積的概括，它不僅適用於三維歐幾里得空間，還適用於更廣泛的數學和物理問題中。內積的概念在泛函分析、量子力學、訊號處理等領域都有重要應用。

在向量空間中，向量的模（或長度、範數）是指向量的大小或絕對值。對於具有內積的向量空間，模可以透過內積來定義。在三維歐幾里得空間中，向量的模通常是指向量的長度，可以透過點積來計算。

對於一個三維向量 v = [v1, v2, v3]，其模（記作 ||v||）可以透過以下公式計算：

||v|| = √(v12 + v22 + v32)

這個公式實際上是利用了點積的性質，特別是向量與其自身的點積等於其模的平方：

v · v = v12 + v22 + v32 = ||v||2

因此，我們可以透過取平方根來得到模。

在更一般的內積空間中，向量的模可以透過內積來定義。給定向量 v，其模定義為：

||v|| = √?v, v?

這裡，?v, v? 表示向量 v 與其自身的內積。這個定義保證了模是非負的實數，並且當且僅當向量為零向量時，模等於零。

模的概念在數學和物理學中非常重要，因為它與向量的幾何屬性密切相關，比如距離、大小和方向。在物理學中，向量的模經常用來表示物理量的大小，例如力的大小、速度的大小等。在數學中，模的概念也被推廣到了更一般的抽象空間，如賦範空間和巴拿赫空間，成為分析和幾何中的基本概念之一。

? 在普通的（3d）空間中，向量只是箭頭。它們指向一個方向並具有長度，我們稱之為大小。分量是指向上或向下、向左或向右等方向的分量。

內積只是一個規則，或一個對映，用來將兩個向量對映到一個數字。透過方程 14，規則是取每個方向（x，y，z）的分量，將這些分量相乘並求和。

現在將其與方程 12 中卷積的定義比較，我們可以看到卷積所做的事情相同，只是使用的是函式：我們在每個點乘以兩個函式並求和。更一般地，我們定義函式 f 和 h 之間的內積：

方程 15:

在函式空間中，兩個函式 f(x) 和 h(x) 之間的內積通常定義為一個積分，這個積分依賴於具體的內積空間和所考慮的函式型別。在許多情況下，特別是在實數域上的函式空間，內積可以定義為兩個函式的乘積在某個區間上的積分，再加上可能的權重函式。

一個典型的例子是在實數域上的 L2 空間，其中函式 f(x) 和 h(x) 的內積定義為：

?f, h? = ∫[a, b] f(x) * h(x) dx

這裡，a 和 b 是積分的上下限，