穹頂天魂的新書

第229章 蠻星之主一 (第5/9頁)

般來說，正弦函式在相鄰的峰值和谷值之間的變化是平滑的。

需要注意的是，這裡的描述是在一般情況下的簡化說明。在具體問題中，可能需要更詳細的分析和具體的引數值來確定函式的極限行為。此外，極限的結果還可能受到其他因素的影響，如函式的定義域、邊界條件等。

總的來說，當$\\delta$趨近於$0$時，高斯函式呈現出尖銳的峰值，而正弦函式呈現出週期性的變化。這些特徵在不同的應用中可能具有重要的意義，例如在機率論、訊號處理或物理學等領域。

上面介紹了高斯序列表示的函式

和正弦序列 (sin x \/ x) 表示δ函式

在這裡，我們將採取不同的視角，專注於篩選性質。為此，我需要介紹卷積（convolutions）。

卷積是兩個函式之間的積分，我們稱它們為 f(x) 和 g(x)，但我們透過某個量將其中一個函式偏移，我們將其稱為 x。

方程 12:

fxg=∫f(x')g(x-x')dx'

它們是將兩個函式“混合”在一起的方式，在訊號處理中發揮著基礎作用，並因此擴充套件到機器學習，你可能聽說過卷積神經網路。對於這個討論，讓我們將卷積視為一種函式的乘法方式。

我將聲稱，卷積就像數字的正常乘法。我們可以透過檢視一些性質來強調這一點。

? 由於卷積是一種積分，它是線性的，或者遵循分配律：

fx(ag1+βg2)=af*g1+βf*g2

? 此外，它是交換的：

f*g=∫f(x')g(x-x'dx'=∫f(x-x')g(x')dx'=g*f

? 和結合的：

f*(g1*g2)=(f*g1)*g2

就像正常的乘法一樣。

此外，兩個函式的卷積也是一個函式，就像數字乘法一樣，兩個數字相乘的結果也是一個數字。

要證明這些，只需明確寫下積分。前兩個從微積分的規則中立即得出。最後一個需要函式在某種程度上行為良好，允許我們改變積分順序，但對於物理相關的函式，這通常是這樣的。

然而，這不是一個完美的等價。一個（大）問題是定義逆，即卷積類比的 a^(?1)，使得 a x a^(?1) = 1。換句話說，我們如何“去卷積”兩個函式？這個問題通常是不適定的。更多關於這個的討論在下面。

但另一個問題是身份。我們需要一些起到乘以1的作用的東西。我們知道 f(x) x 1 = f(x)，對任何 f 都成立，但哪個函式 I(x) 滿足：f(x) * I(x) = f(x)？

δ函式的篩選性質（方程 11），你應該認識到它是以卷積的形式寫的。δ函式在將兩個函式進行卷積時充當恆等運算元。換句話說，δ函式有點像 1。

這種聯絡並非憑空而來。我們可以在傅立葉變換的背景中看到這種暗示。δ函式可以透過傅立葉變換表示。我們可以看到傅立葉表示的形式是取 1 的逆傅立葉變換：

方程 13:

δ(x-x')=2π^-1∫-∞\/∞e^iw(x-x')dw=2π^-1∫-∞\/∞1*e^iw(x-x')dw

卷積和內積

在回到格林函式之前，我上面提到，我們的類比到正常乘法的限制是缺乏明確定義的逆。我們可以透過卷積最常見的應用“移動平均”或低通濾波器來了解這一點。

例如，讓我們拿一張圖片並與高斯函式進行卷積。

使用高斯卷積對金毛犬進行低通濾波

對影象進行二維卷積通常會使其明顯模糊。消除一些模糊並非不可能(反摺積是影象處理中的一個老話題)，在實踐中，卷積的濾波效果將高解析度資訊對映為零。線上性代數的語言中，存在非平凡的零空間，所以這個運算是不可逆的。

雖然它不是數字正常乘積的完美類比，但卷積確實符合向量內積的所有條件。在不將這變成一整套線性代數課程的情況下，內積是我們三維空間中常規向量點積的概括。

方程 14:

是的，內積（Inner product）是三維空間中常規向量點積（dot product）的一種概括。在數學中，內積是一個定義在向量空間上的函式，它賦予兩個