穹頂天魂的新書

第229章 蠻星之主一 (第4/9頁)

和 y，透過內積 ＜x, L*y＞ 和 ＜L?x, y＞ 可以得到相同的結果。

內積在 L?伴隨運算元方程中的作用是提供了一種衡量 x 和 L?x 之間關係的方式。它可以用於計算向量或函式的範數（長度或大小）、確定兩個向量或函式的相似性或垂直性，以及其他與線性代數和分析相關的問題。

具體的內積形式和計算方法取決於所涉及的數學框架和問題的上下文。在不同的領域中，可能會使用不同的內積定義和運算規則。

例如，在量子力學中，內積可以用於描述粒子的狀態和可觀測量之間的關係。在訊號處理中，內積可以用於計算訊號的能量或相關度。

總的來說，內積是研究 L?伴隨運算元方程的重要工具，它提供了一種描述和分析向量或函式之間關係的方法，幫助我們理解和解決與伴隨運算元相關的問題。具體的應用和計算將取決於具體的問題和所使用的數學工具。

在實踐中，我們處理的運算元通常是自伴隨的，或者是厄米的。

厄米或自伴隨運算元

L?=L

對於像 d\/dx 這樣的簡單微分運算元來說就是這種情況。在量子力學中，任何可觀測的量，即對應於真實測量的 L，都要求是自伴隨的，以便測量的量（本徵值）是實數。

也有例外。例如在模擬具有能量耗散或增益的量子系統時，我們可以使用非厄米哈密頓量來模擬變化，但這種情況相當少見。尤其是你能接觸到的，幾乎可以肯定所有的哈密頓量都是自伴隨的。

對於自伴隨運算元，格林函式也滿足：

方程8:

LG(x，x')=δ(x-x')

這也是你在實踐中最常見的定義方式。

有了方程，如何理解它呢。由於 L 是任意的，因此 G 也是如此，讓我們從右側開始：δ函式。

方程9:δ函式∫-∞\/∞:f(x-x')dx'=1

回顧一下：我們透過它在積分下的作用來定義δ函式

$\\delta$函式是一個在數學和物理學中常用的廣義函式，通常用$\\delta(x)$表示。它在$x=0$處取值為無窮大，而在其他地方取值為$0$。

$\\delta$函式的主要用途是對某些集中在一點或一瞬的物理量進行描述，例如質點的質量、電荷集中在一點，或者脈衝在一瞬間的作用等。雖然$\\delta$函式在常規的函式定義下並不滿足連續可微等性質，但可以透過分佈理論或廣義函式的概念來理解和處理。

在數學中，$\\delta$函式常用於積分、微分方程和卷積等問題中。例如，對於在$x=0$處有集中質量的線性彈簧系統，其位移可以表示為$\\int_{-\\infty}^{\\infty}f(x)\\delta(x)dx$，其中$f(x)$是作用力。

需要注意的是，$\\delta$函式的具體形式和定義可能因應用領域和具體問題而有所不同。在實際使用中，需要根據具體情況選擇合適的定義和處理方法。

總的來說，$\\delta$函式是一種抽象的數學工具，用於描述和處理集中在一點或一瞬的物理現象或數學問題。它在許多領域都有廣泛的應用。

以及

方程10:δ(x≠x')=0

δ函式最重要的特性是與函式一起積分時的“篩選性質”

方程 11:

∫f(x')δ(x-x')dx'=f(x)

這是直觀的，因為我們可以將δ函式表示為高斯或正弦函式的極限。

當$\\delta$趨近於$0$時，高斯函式和正弦函式的極限情況如下：

對於高斯函式，它通常表示為$e^{-\\frac{x^2}{2\\sigma^2}}$，其中$\\sigma$是標準差。當$\\delta$趨近於$0$時，高斯函式在$x=0$處的取值趨近於$1$，並且在其他點的取值趨近於$0$。這是因為當$\\delta$很小時，高斯函式的峰值變得非常尖銳，而在遠離峰值的地方函式值迅速下降。

對於正弦函式，它通常表示為$\\sin(x)$。當$\\delta$趨近於$0$時，正弦函式在$x=0$處的取值為$0$，並且在其他點的取值呈現週期性的變化。具體的變化模式取決於$x$的取值，但一