穹頂天魂的新書

第257章 破解結界屏障保護層封印符→五角星芒陣 (第3/4頁)

的幅角，所以方程有五個解。

示例

對於 (x^5 = 6)，模 (r) 的 (5) 次根是 (\\sqrt{6})，而幅角是從 (0) 到 (\\frac{8\\pi}{5})，以 (\\frac{2\\pi}{5}) 的間隔分佈。這些不同的幅角產生五個不同的複數解，包括一個實數解（當 (k = 0) 時）和四個複數解。

結論

每個複數 (n) 次方程都會產生 (n) 個複數解，這是代數基本定理和複數的性質共同作用的結果。對於 (x^5 \\pm 6 = 0)，這表示有五個解，它們在複平面上均勻分佈成一個正五邊形。

最後實驗驗證一下哈，就是一個大腦粗礦的龍族肌肉男設定的簡單解:

解出 (x^5 \\pm 6 = 0) 方程的五個複數解，需要利用複數的極座標表示和複數的根的性質。這裡我將針對 (x^5 - 6 = 0) 展示如何找到所有五個複數解，(x^5 + 6 = 0) 的情況非常類似。

解 (x^5 - 6 = 0)

給定方程 (x^5 = 6)，首先將6表示為複數的極座標形式，即 (6 = 6 \\cdot e^{i0})（這裡考慮到6的復角為0，因為6是正實數）。

由於任何複數 (z = r \\cdot e^{iθ}) 的 (n) 次根有 (n) 個值，這些值均勻分佈在以原點為圓心，半徑是 (r^{\\frac{1}{n}}) 的圓上，且對應的復角以 (\\frac{2\\pi k}{n}) 的間隔分佈，其中 (k = 0, 1, 2, ..., n-1)。

步驟分解

確定 (r) 的 (n) 次根： 對於 (x^5 = 6)，我們有 (r = 6) 和 (n = 5)，所以 (r^{\\frac{1}{5}} = \\sqrt{6})。

確定復角： 復角 (\\theta) 為 (0)，所以每個根的復角為 (\\theta + \\frac{2\\pi k}{n})。

計算根： 根據 (k = 0, 1, 2, 3, 4)，我們有：

(k = 0)，(\\theta = 0), 則 (x_0 = \\sqrt{6} \\cdot e^{i0})

(k = 1)，(\\theta = \\frac{2\\pi}{5}), 則 (x_1 = \\sqrt{6} \\cdot e^{i\\frac{2\\pi}{5}})

(k = 2)，(\\theta = \\frac{4\\pi}{5}), 則 (x_2 = \\sqrt{6} \\cdot e^{i\\frac{4\\pi}{5}})

(k = 3)，(\\theta = \\frac{6\\pi}{5}), 則 (x_3 = \\sqrt{6} \\cdot e^{i\\frac{6\\pi}{5}})

(k = 4)，(\\theta = \\frac{8\\pi}{5}), 則 (x_4 = \\sqrt{6} \\cdot e^{i\\frac{8\\pi}{5}})

結果

這五個根 (x_0, x_1, x_2, x_3, x_4) 就是 (x^5 - 6 = 0) 的所有解，其中 (x_0) 是實數解，其餘四個是複數解。這些解在複平面上均勻分佈在一個以原點為中心，半徑為 (\\sqrt{6}) 的圓上，每個解之間的角度差為 (\\frac{2\\pi}{5})。

對於 (x^5 + 6 = 0)

處理 (x^5 + 6 = 0) 的情況非常類似，只是現在 (r = -6)，這意味著複數的極座標表示中，復角將從 (\\pi) 開始。這樣得到的根同樣有五個，但它們將分佈在複平面上不同位置，對應 (r = \\sqrt{6}) 和 (\\theta = \\pi + \\frac{2\\pi k}{5}) 的複數

不過這裡還牽扯到另外一門技術，古重差法，光學也被龍族利用了，要等中午正午陽光照射進來的光影投射位置來定五角星芒陣的半徑r，才可以有效的確定