穹頂天魂的新書

第233章 走近高維 (第4/8頁)

材料科學中的應力和應變關係： 在彈性力學中，材料的應力-應變關係在一定範圍內可以是線性的，超出這個範圍後可能會變成非線性，其中可能包含二次項。

流體力學中的流動問題： 在流體力學中，流體速度分佈在管道或渠道中可能遵循二次函式形式，尤其是在層流狀態下。

這些例子展示了二次函式在物理學中的廣泛應用，它們是描述自然界中多種現象的基本數學工具之一。

接下來我們討論升維的方法:這個世界很奇妙，要麼無限大→宏觀，要麼無限小→微觀，去尋求答案:

先看一下泰勒級數吧！

泰勒級數（taylor series）是一種用於近似表示函式的方法，它可以將一個在某個點附近足夠平滑的函式表示為一個無限項的多項式。泰勒級數是以數學家布魯克·泰勒（brook taylor）的名字命名的，他在1715年發表了這個方法。

對於一個實數或複數函式f(x)，如果在點a處具有直到n階的連續導數，那麼它的泰勒級數展開式為：

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + (f''(a)\/2!)(x-a)^2 + (f'''(a)\/3!)(x-a)^3 + ... + (f^n(a)\/n!)(x-a)^n + ...

其中，f'(a), f''(a), f'''(a), ... 分別表示函式f在點a處的一階、二階、三階、...、n階導數，而n!表示n的階乘。

如果a=0，則這個級數被稱為麥克勞林級數（maclaurin series），它是泰勒級數的一個特例。麥克勞林級數的展開式為：

f(x) = f(0) + f'(0)x + (f''(0)\/2!)x^2 + (f'''(0)\/3!)x^3 + ... + (f^n(0)\/n!)x^n + ...

泰勒級數在數學分析中非常有用，因為它允許我們將複雜的函式用簡單的多項式來近似。在很多情況下，即使只取泰勒級數的前幾項作為近似，也能得到相當好的結果。然而，需要注意的是，並非所有函式都能在任意點上進行泰勒級數展開，只有那些在展開點附近足夠平滑的函式才能這樣做。此外，即使函式可以展開成泰勒級數，也不一定意味著級數在整個定義域內都收斂於原函式。

再看看火麒麟老祖對高維空間的理解:

理解一:表示式 x^0 + x^1 + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + ... + x^n 是一個等比數列的求和，其中首項是 x^0，公比是 x，最後一項是 x^n。

等比數列的求和公式是：

S = a * (1 - r^(n+1)) \/ (1 - r)

其中，S 是求和的結果，a 是首項，r 是公比，n 是項數減一（因為從0開始計數，所以第n項實際上是第n+1個數）。

在這個問題中，首項 a = x^0 = 1，公比 r = x，項數 n+1。

所以，求和公式變為：

S = 1 * (1 - x^(n+1)) \/ (1 - x)

簡化後得到：

S = (1 - x^(n+1)) \/ (1 - x)

這就是從 x^0 到 x^n 的所有項之和的封閉形式解。注意，這個公式適用於 x 不等於 1 的情況。如果 x = 1，那麼所有的項都是 1，求和就變成了簡單地把 1 加到 n+1 次，即 (n+1) * 1 = n + 1。

理解二:表示式 x^0 - x^1 + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + ... - x^n 是一個交錯等比數列的求和，其中首項是 x^0，公比是 -x，最後一項是 -x^n（注意符號的變化）。

交錯等比數列的求和可以透過調整項的順序，然後使用等比數列的求和公式來解決。我們可以把所有的正項放在一起，所有的負項放在一起，然後分別求和。

正項的求和是：

S_positive = x^0 + x^2 + x^4 + ... + x^(2m) （直到偶數項 x^(2m) ＜= x^n）

這是一個等比數列，首項 a =