穹頂天魂的新書

第233章 走近高維 (第3/8頁)

能量分佈由普朗克定律（planck's Law）給出，它是量子理論的基石之一。普朗克定律描述了黑體在一定溫度下，單位面積、單位時間內，在各個頻率（或波長）上發射的能量密度。

普朗克定律的公式如下：

對於頻率 ν 的輻射，能量密度 (u(u, t)) 為： [ u(u, t) = \\frac{8\\pi hu^3}{c^3} \\frac{1}{e^{\\frac{hu}{kt}} - 1} ]

對於波長 λ 的輻射，能量密度 (u(\\lambda, t)) 為： [ u(\\lambda, t) = \\frac{8\\pi hc}{\\lambda^5} \\frac{1}{e^{\\frac{hc}{\\lambda kt}} - 1} ]

其中：

(u(u, t)) 或 (u(\\lambda, t)) 是單位體積內，頻率在 ν 附近或波長在 λ 附近的電磁輻射能量密度。

(h) 是普朗克常數。

(c) 是光速。

(k) 是玻爾茲曼常數。

(t) 是絕對溫度。

在這個公式中，並沒有直接出現二次函式的形式。然而，如果我們考慮特定頻率或波長處的能量密度隨溫度的變化，可能會涉及到二次函式的概念。例如，維恩位移定律（wien's displacement Law）指出，黑體輻射的峰值波長 λ_max 與絕對溫度 t 成反比，其比例常數稱為維恩常數 b：

[ \\lambda_{max} t = b ]

這裡的 λ_max 是波長，t 是溫度，它們之間的關係是線性的，而不是二次的。但是，如果我們考慮能量密度的變化率，即輻射功率隨溫度的變化，那麼在某些情況下可能會涉及到二次項。

總的來說，黑體輻射的普朗克定律本身不包含二次函式，但是在分析和解釋黑體輻射的一些特性時，可能會用到二次函式的概念。

我想火是它的最愛，不過也是因為侷限性而倒在了前進的路上。

在二階平面函式方面，總結一下:

在物理學中，二次函式廣泛應用於描述多種現象，特別是在經典力學、電磁學、熱力學和量子力學等領域。以下是一些具體應用例項：

經典力學中的勻加速運動： 物體在重力場中的自由落體運動、拋體運動等，其位移 (s) 隨時間 (t) 的變化趨勢可以表示為 (s(t) = s_0 + v_0t + \\frac{1}{2}at^2)，其中 (s_0) 是初始位移，(v_0) 是初始速度，(a) 是加速度（如重力加速度）。

拋物運動軌跡： 物體在二維平面內以一定角度丟擲，其運動軌跡是一個拋物線，可以用二次函式 (y(x) = ax^2 + bx + c) 來描述，其中 (a)、(b)、(c) 是取決於初始條件和環境引數的常數。

簡諧振動： 在簡諧振動中，物體的位移 (x(t)) 隨時間 (t) 的變化就和時間 (t) 的二次函式有關，雖然直接的位移函式通常是正弦或餘弦函式，但其加速度 (a(t)) 是位移 (x(t)) 的二次導數，即 (a(t) = -\\omega^2x(t))，其中 (\\omega) 是角頻率。

電磁學中的電場和磁場分佈： 在一些對稱性較高的系統中，如無限長直導線周圍的磁場分佈，磁感應強度 (b) 與到導線距離 (r) 的關係可以近似為 (b \\propto \\frac{1}{r^2})，這是一種“負二次”關係。

熱力學中的擴散過程： 在擴散過程中，物質濃度 (c) 隨距離 (x) 的變化通常遵循擴散方程，其在穩態下的解可以是一個二次函式。

量子力學中的波函式： 在量子力學中，粒子的波函式在某些情況下可以近似為二次函式，尤其是在討論束縛態問題時。

光學中的反射和折射： 光線在反射和折射時，其路徑可以由斯涅爾定律（Snell's Law）描述，而在某些特殊情況下，光線軌跡可以近似為二次曲線。

天體物理學中的軌道運動： 在天體物理學中，行星、衛星等的軌道運動通常遵循開普勒定律，其中橢圓軌道的形狀可以用二次函式來近似描述。