穹頂天魂的新書

第233章 走近高維 (第5/8頁)

x^0 = 1，公比 r = x^2，項數 m+1（因為從0開始計數，所以第m項實際上是第m+1個數）。

使用等比數列的求和公式：

S_positive = 1 * (1 - (x^2)^(m+1)) \/ (1 - x^2) = (1 - x^(2m+2)) \/ (1 - x^2)

負項的求和是：

S_negative = -x^1 - x^3 - x^5 - ... - x^(2m+1) （直到奇數項 x^(2m+1) ＜= x^n）

這也是一個等比數列，首項 a = -x^1，公比 r = -x^2，項數 m+1。

使用等比數列的求和公式：

S_negative = -x * (1 - (-x^2)^(m+1)) \/ (1 - (-x^2)) = -x * (1 - (-1)^(m+1) * x^(2m+2)) \/ (1 + x^2)

總和 S 是正項和與負項和的代數和：

S = S_positive + S_negative = (1 - x^(2m+2)) \/ (1 - x^2) - x * (1 - (-1)^(m+1) * x^(2m+2)) \/ (1 + x^2)

這個公式適用於 x 不等於 1 和 -1 的情況。如果 x = 1 或 x = -1，那麼數列的性質會發生變化，需要單獨處理。

注意，這裡的 m 是滿足 x^(2m) ＜= x^n 的最大整數，即 m = floor((n+1)\/2)。如果 n 是奇數，最後一項將是負的 -x^n；如果 n 是偶數，最後一項將是正的 x^n。

接下來看它怎麼處理的:

為了討論上面提到的兩個級數的和、差、積、除以及它們的倒數，我們首先需要明確這兩個級數是什麼。根據之前的描述，我們有兩個級數：

等比數列的求和：x^0 + x^1 + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + ... + x^n，其和的公式為 S1 = (1 - x^(n+1)) \/ (1 - x)，其中 x 不等於 1。

交錯等比數列的求和：x^0 - x^1 + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + ... - x^n，其和的公式為 S2 = (1 - x^(2m+2)) \/ (1 - x^2) - x * (1 - (-1)^(m+1) * x^(2m+2)) \/ (1 + x^2)，其中 m = floor((n+1)\/2)。

現在我們來看這些級數的和、差、積、除以及它們的倒數：

和 (Sum)

兩個級數的和就是將它們的和相加： S_sum = S1 + S2 = [(1 - x^(n+1)) \/ (1 - x)] + [(1 - x^(2m+2)) \/ (1 - x^2) - x * (1 - (-1)^(m+1) * x^(2m+2)) \/ (1 + x^2)]

差 (difference)

兩個級數的差就是將它們的和相減： S_diff = S1 - S2 = [(1 - x^(n+1)) \/ (1 - x)] - [(1 - x^(2m+2)) \/ (1 - x^2) - x * (1 - (-1)^(m+1) * x^(2m+2)) \/ (1 + x^2)]

積 (product)

兩個級數的積是將它們的和相乘： S_product = S1 * S2 = [(1 - x^(n+1)) \/ (1 - x)] * [(1 - x^(2m+2)) \/ (1 - x^2) - x * (1 - (-1)^(m+1) * x^(2m+2)) \/ (1 + x^2)]

除 (quotient)

兩個級數的除是將它們的和相除： S_quotient = S1 \/ S2 = [(1 - x^(n+1)) \/ (1 - x)] \/ [(1 - x^(2m+2)) \/ (1 - x^2) - x * (1 - (-1)^(