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該不該改變最初的選擇
下面要講到的例子與美國20世紀70年代的一個電視節目有關，其中的機率計算曾困擾著成千上萬的大眾。在節目中，節目參與者將在三扇門之間選擇其中一扇。這三扇門中有且僅有一扇門的後面放著獎品，另外兩扇門則放著諷刺性禮品比如雞崽（chicken）或者笨驢（donkey）。當節目參與者選定一扇門之後，主持人就會開啟另外兩扇門中沒有獎品的一扇。然後在剩下的兩扇關閉的門中，主持人會問參與者要不要改變最初的選擇。
這裡的問題就是：參與人希望獲得獎品，而不是獲得諷刺性禮品，那麼現在仍關閉的兩扇門中，他應當堅持最初的選擇呢？還是改變主意選擇另外一扇門？
大多數人憑直覺認為，剩下的兩扇門中，每扇門後有獎品或沒有獎品的機率各佔50％。因此，改變主意選擇另外一扇門和堅持最初的選擇不改變，預期的贏利是一樣的。的確，這種思路看來是沒有什麼錯。因為在做最初的選擇時，選擇“碰巧是”正確的機率為1/3；而一旦選擇之後，剩下兩扇門，參與者從主持人的行為中所能得到的資訊就只是將信念修正為自己選擇正確的機率為1/2，選擇失誤的機率也是1/2。此外沒有任何其他的資訊改善。因此，他堅持原來的選擇似乎可以說得過去。
但是，上述看法並不符合真實的情況。真實的情況是，若參與者改變自己最初的選擇，那麼獲得獎品的機率是2/3，若不改變最初的選擇，則獲得獎品的機率僅為1/3。他應該改變自己最初的選擇。
奇怪的是，將這個結果告訴參與者後，他們還常常難以理解為什麼會這樣。一種比較淺顯的解釋是這樣的：在最初的選擇中，選擇了錯誤門的機率是2/3。如果參與人一開始的確選擇了錯誤的門，那麼主持人隨後必然開啟空門，而沒有被開啟的那一扇就必然有獎品，此時參與人顯然應該改變主意轉換到自己沒選擇也沒有被開啟的那扇門。如果最初的選擇中參與人的確選正確了（機率為1/3），那麼他顯然應該堅持，並因此獲得獎品。也就是說，如果參與人一開始就選錯了，則參與人應該換門並一定獲得獎金，如果參與人一開始就選對了，則應該堅持並一定獲得獎金—於是，轉換門獲得獎金的機率與不轉換門獲得獎金的機率實際上就是最初選擇是正確和錯誤的機率。而一開始，選擇錯誤的機率是2/3，正確的機率是1/3。因此，在不知自己選擇是正是誤的情況下，在第二階段改變主意轉換到另一扇門，的確增加了獲得獎品的機率。
對於有些喜歡做實驗的讀者，如果你不明白上述道理，那麼我建議你做這樣一個遊戲：準備三張撲克和一枚硬幣，讓你的朋友來當節目主持人將三張牌鋪在桌面上（並將那枚硬幣放在其中一張之下）；然後你來選擇一張牌；你的朋友從你沒選取的牌中拿走沒有硬幣的一張，再問你是否改變你當初選的牌。為了證明轉換選擇比不轉換選擇更有可能獲得獎品，你可以嘗試以“轉換選擇”為策略進行數十次（比如50次）實驗，再以“不轉換選擇”為策略進行同樣多次數（比如50次）的實驗。結果你會發現什麼？你將發現“轉換選擇”的策略中得到硬幣的次數基本上是“不轉換選擇”策略中得到硬幣的次數的兩倍，而這兩種策略中硬幣出現的頻率也基本上分別接近2/3和1/3。
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＇13＇與上帝博弈（2）
當然，在一次性節目中，並不允許這樣的重複實驗。而且大多數人的確也不明智地選擇了“不轉換選擇”。我曾在學生中做過這個實驗，結果32人中有20人堅持“不轉換選擇”。這說明大多數人不清楚這樣複雜的機率思考。更有意思的是，我跟我太太玩這個遊戲時，她也是堅持“不轉換選擇”。當我告訴她如果轉換可以成倍提高獲獎機率時，她卻說：如果我開始選對了，轉換後結果錯了就會後悔，所以心理素質好的就不應該轉換。當然，她說的已經不是純粹的機率計算，但也不是沒有道理的。人們的行為的確不僅受制於各種精心的算計，也往往受制於某些心理因素（比如後悔）。不過，我對她的答案疑問在於：“如果開始選擇對了，那麼後來轉換了選擇會令人後悔。但是，如果後來你知道開始的選擇錯了，而你又沒有轉換選擇，你就不後悔沒有轉換嗎？”太太的回答更經典：“一開始選擇錯了，我只認為是運氣不好，沒什麼可後悔的；如果開始對了，後來轉換錯了，才是後悔的。”這讓我立即想到人們日常生活中常提到的道理：從沒得到的
