穹頂天魂的新書

第208章 真正的十全十美哈 (第2/2頁)

frac{\hbar^2}{2\mu}\frac{d^2}{dx^2}\psi(x) = E\psi(x) ]

這是一個二階常微分方程，其解為： [ \psi_n(x) = A_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) ] 其中，n是一個正整數，代表弦的振動模式，A_n是歸一化常數。

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能量本徵值為： [ E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2\mu L^2} ]

因此，一維無界弦的振動模式可以用正弦波的線性組合來表示： [ \Psi(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-iE_nt/\hbar} ]

透過歸一化條件可以確定係數A_n，確保波函式的總機率為1。

而它的頻率計算為：

一維無界弦的振動頻率可以透過其能量本徵值來計算。根據量子力學中的薛定諤方程，一維無限深勢阱問題的能量本徵值由以下公式給出： [ E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2\mu L^2} ] 其中，( E_n )是第n個能級的能量，( n )是量子數（正整數），( \hbar )是約化普朗克常數，( \mu )是弦的線密度（質量除以長度），( L )是弦的長度。

振動頻率 ( f_n )與能量本徵值 ( E_n )之間的關係由以下公式給出： [ f_n = \frac{E_n}{h} ] 其中，( h )是普朗克常數。

將能量本徵值的表示式代入上述頻率公式，我們得到： [ f_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2\mu L^2h} ] 因為 ( \hbar = \frac{h}{2\pi} )，所以可以將 ( \hbar )替換為 ( \frac{h}{2\pi} )，從而得到： [ f_n = \frac{n^2\pi}{2\mu L^2} ]

這就是第n個振模式的頻率。需要注意的是，這裡的頻率是角頻率，單位是弧度每秒（rad/s）。如果要轉換為週期性頻率（單位是赫茲，Hz），我們只需將角頻率除以 ( 2\pi )： [ f_n(\text{Hz}) = \frac{n^2\pi}{2\mu L^2} \times \frac{1}{2\pi} = \frac{n^2}{2\mu L^2} ]

因此，一維無界弦的第n個振模式的頻率（以Hz為單位）為： [ f_n = \frac{n^2}{2\mu L^2} ]。

這傢伙就是這樣利用了薛定諤的貓，讓薛老頭頓悟出了舉世屬目的波動方程，它是跟貓有著多麼大的仇恨哈，死磕到底的節奏哈。所以它也繼承了薛老頭的科學技術並運用到它的日常生活的方方面面。貓捉耗子這個千載難逢的機會被它反轉的徹徹底底，薛家貓到死都不知道怎麼死的哈。

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