穹頂天魂的新書

第235章 反常規操作→高維空間的梯度與黑體輻射同步的問題 (第2/3頁)

設定一個頻率範圍 $[u, u+du]$。在這個範圍內，電磁波可以看作是許多不同頻率的波的疊加。

2. 能量量子化假設

普朗克假設電磁輻射的能量是量子化的，即輻射的能量是 $\\epsilon = hv$ 的整數倍，其中 $h$ 是普朗克常數，$v$ 是頻率。

3. 能量分佈

根據量子力學統計，一個能級 $E = nhv$ 上的能量狀態的數量是按玻爾茲曼分佈來權衡的。即每個狀態的機率是 $p_n \\propto e^{-nhv\/kt}$，其中 $k$ 是玻爾茲曼常數，$t$ 是絕對溫度。

4. 求平均能量

在溫度為 $t$ 的熱平衡下，對於頻率為 $v$ 的電磁波的平均能量可以表示為： [ \\langle E \\rangle = \\frac{\\sum_{n=0}^{\\infty} nhv \\cdot e^{-nhv\/kt}}{\\sum_{n=0}^{\\infty} e^{-nhv\/kt}} ]

5. 系列求和

利用幾何級數求和公式，得到： [ \\sum_{n=0}^{\\infty} e^{-nhv\/kt} = \\frac{1}{1 - e^{-hv\/kt}} ] [ \\sum_{n=0}^{\\infty} nhv \\cdot e^{-nhv\/kt} = \\frac{hv}{(e^{hv\/kt} - 1)} ]

6. 平均能量結果

因此，頻率為 $v$ 的光子的平均能量為： [ \\langle E \\rangle = \\frac{hv}{e^{hv\/kt} - 1} ]

7. 空間密度

電磁波在單位體積中的頻率密度是 $d(v) = \\frac{8\\pi v^2}{c^3}$，其中 $c$ 是光速。

8. 能量密度

將頻率密度和平均能量相結合，得到黑體輻射的能量密度公式，稱為普朗克公式： [ u(v, t) = \\frac{8\\pi v^2}{c^3} \\frac{hv}{e^{hv\/kt} - 1} ]

9. 最終推導

為普朗克公式轉換成波長表示： [ u(\\lambda, t) = \\frac{8\\pi h c}{\\lambda^5} \\frac{1}{e^{hc\/(\\lambda k t)} - 1} ]

這個公式就是黑體輻射公式，用於描述在溫度為 $t$ 的物體輻射峰值所在波長的強度。它成功解釋了黑體輻射的“紫外災難”問題，成為量子力學的基石之一。

希望這個推導過程對你有所幫助。如果有需要進一步解釋的地方，請告訴我。

最後是我腦子靈光一閃，把這兩個玩意結合在一起，看看是個什麼鬼哈？

在探討這個問題之前，我們首先需要明確兩個概念：高維空間中的單位體積公式以及黑體輻射的電磁波單位體積密度公式。

1. 高維空間中的單位體積公式：

在n維歐幾里得空間的一單位n維球體的體積 ( V_n ) 可以透過以下公式表示： [ V_n(r) = \\frac{\\pi^{n\/2}}{\\Gamma(\\frac{n}{2} + 1)} r^n ] 其中，( r ) 是半徑，( \\Gamma ) 是伽瑪函式。

2. 黑體輻射的電磁波單位體積密度公式:

黑體輻射的能量密度（單位體積內的能量），可以由普朗克公式表示： [ \\rho(u, t) = \\frac{8 \\pi u^2}{c^3} \\frac{h u}{e^{h u \/ k t} - 1} ] 其中：

( \\rho(u, t) ) 影片率為 ( u ) 的電磁波在溫度 ( t ) 下的單位體積密度

( h ) 是普朗克常數

( c ) 是光速

( k ) 是玻爾茲曼常數

合併兩個公式：

當我們將高維空間的單位體積公式引入黑體輻射電磁波在單位體積內的能量密度公式時，假設高維空間中的n維體積，