一個平民的哲學(連載)

第54部分 (第1/4頁)

目捶ǎ���系牧��允怯夢耷鈽×坷炊ㄒ宓囊桓隼硐敫拍睢Ｕ飧鑫耷鈽×浚�坪趵嗨樸譾だ鉳緣摹凹�阜勰�薄Ｕ飫鎘幸桓隼�眩閡渙７勰┯忻揮刑寤�咳綣�寤��0，加起來豈不還是0？如果體積不是0，無窮粒粉末加起來體積又怎能有限呢？可能亞里士多德已經看到了這個困難，所以堅決反對直線（或物體）由無窮多個點組成。但是，正如伽裡略指出的那樣，有窮個不可分的東西組成的東西，又怎能連續變化呢？我們拿個放大鏡來看看數軸吧，先看無理數，我們去看л，先找到3這個點，再找到這個點，再繼續下去，我們會發現這個點始終是無法確定的，無理數就象一個不停搖擺的亂動的一個不確定的點，永遠無法精確，而且沒有規律。而正好是這樣的數把以前我們認為是由一個個孤立的點組合起來的數軸變成了一跟完整連續的直線。看起來這個答案很完美，但我們計算圓面積的時候用的公式我們會發現永遠無法得到一個精確的值，因為л無法精確，我們只能取其近似值，也就是說л是相對精確的。

那麼其他的數呢？我問你，離1最近的數是哪個數？　……。數學上怎麼描述這個數呢？我們會用極限這個概念，比如…。的極限等於1。如果我問你，1……。。等於多少？無窮小！極限和無窮小的概念是微積分的基礎，也是物理學的數學基礎，它能夠計算物體在動態中的狀態。比如瞬時速度：說汽車1小時行駛60公里，或說汽車的速度是60公里／小時，這是個大致的說法。因為汽車在這一段時間內時慢時快。起動時，停車時，過人行橫道時，就要慢些，其它時間要快些，路面好的時候就更快些。因此，用物體走過的距離除以所用的時間，得到的是平均速度，不是物體的真正速度。那麼，我們測量一下物體在幾秒鐘之內走的距離，用這幾秒的時間來除，得到的速度總該是物體的真正速度了吧？還不行。這是這幾秒之內的平均速度。子彈從射出槍口到擊中靶心，只有幾分之一秒的時間，這麼短的時間之內，速度就有很大變化，出槍口時比擊中靶心時就明顯地快些。我們可以把時間間隔再取得小一點，看看物體在秒，秒內走了多遠，以瞭解物體的真實速度。但無論怎麼小的時間間隔，總不是一瞬間，不是一個時刻，而是兩個時刻之間的一段時間。求出來的總是這一段時間內的平均速度。而我們希望知道的真正速度，是物體在某一時刻的速度，是所謂瞬時速度．為了解決這個問題，牛頓和萊布尼茲發明了微積分並把它運用到物理學上，為了求運動著的物體在某一時刻t0的瞬時速度，先要知道從數學上看什麼叫瞬時速度。因此，牛頓面臨的是兩個任務：第一，定義出數學上的瞬時速度的概念；第二，給出具體計算瞬時速度的方法。

如果眼睛只盯著t0；這一個時刻，那是毫無法子可想的。因為時間固定了，物體的位置也固定了。想知道速度，得讓物體動一動。也就要讓時間變一變。讓時間從t0變到t1，這段時間記作⊿t＝t1一t0，而這段時間物體走過的距離記作⊿s。比值⊿s／⊿t，當然是在t0到t1這段時間內的平均速度。牛頓合理地設想：⊿t越小，這個平均速度就應當越接近物體在時刻t0時的瞬時速度。當⊿t越來越小，當然⊿s也越來越小的時候，最後成為無窮小（微分）、就要成為0而還不是0的時候，比值⊿s／⊿t作為兩個無窮小（微分）之比，就是所要的瞬時速度。

這裡就存在一個問題，什麼是要成為0而還不是0的時候？牛頓自己也說不清楚。19世紀，康託、戴金德和柯西證明了：瞬時速度等於平均速度在⊿t趨向於0的時候的極限。柯西建立了一套嚴格的語言來說明什麼叫做變數的極限。粗略而直觀地說，如果變數到後來可以充分接近某個常量，就說這個常量是變數的極限，而變數的變化範圍可以是全體實數。但這裡還是有問題的，無窮小和極限是精確的嗎？……這個數字並不是精確的，說它等於1也不是精確的。如果…。=1；那麼也可以等於1，那就亂套了。所以數字也是相對精確的。那麼1呢？精確嗎？

我們先去看一下幾何再回過頭來解釋這個問題，歐幾里德——約當公元前300年，即當亞歷山大和亞里士多德死後不久的幾年，生活於亞歷山大港。他的《幾何原本》直到現在還是中學教科書中的主要內容，也是毫無疑義是古往今來最偉大的著作之一，也是西方數學和哲學的精髓。歐幾里德的《原本》，是一個精緻地藉助演繹推理展開的系統。它從定義、公設、公理出發，一步一步地推證出了大量的，豐富多采的幾何定理。他盡力對每一個幾何術語加以定義。