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我記得上大學時，我的數學老師是個個子矮小的廖教授，紡大教授，這麼多年過去了，他給我們講課時那自信滿滿的樣子，我就會不自覺的露出笑容，即便如此，當年教授給我們的知識也很多被遺忘了，知識就是這樣，長期不用了，就會遺忘了，只有不停的去使用，你才是它的主人，一旦撒手，它就是你的主人，它認識你，你不認識它！
就比如我現在心心念唸的去追尋的四維時空轉換問題，其實當初大學老師都教過我們了。只是那些書都在我原來的房間樓梯間裡發黴了！
現在回想起來，真不能怪我，知識用來方恨少，提筆欲書坎坷多！
下面我們就來回顧一下四元數的前世今生:
四元數（aternions）是一種擴充套件了複數系統的數系，由愛爾蘭數學家威廉·羅恩·哈密頓（willia rowan hailton）在1843年提出。四元數可以用來表示三維空間中的旋轉，這在計算機圖形學、機器人學和航空航天工程等領域非常有用。
一個四元數可以寫成以下形式：
[ q = a + bi + cj + dk ]
其中，(a)、(b)、(c)、(d) 是實數，而 (i)、(j)、(k) 是四元數的三個虛部單位。這三個虛部單位滿足以下乘法規則：
[ i2 = j2 = k2 = ijk = -1 ]
[ ij = k, \ad ji = -k ]
[ jk = i, \ad kj = -i ]
[ ki = j, \ad ik = -j ]
這些規則表明四元數的乘法不滿足交換律，即一般情況下 (pq eq qp)。
四元數的一個重要應用是表示三維空間中的旋轉。特別是，一個單位四元數可以表示一個旋轉軸和一個旋轉角度。給定一個單位四元數 (q = a + bi + cj + dk)，其中 (a2 + b2 + c2 + d2 = 1)，它可以用來表示圍繞軸 ((\theta, u)) 的旋轉，其中 (\theta) 是旋轉角度，(u = (b, c, d)) 是旋轉軸的方向向量，(a = \s(\theta/2))。
使用四元數進行旋轉的優勢在於避免了萬向節鎖（gibal lock）的問題，並且在數值上更加穩定。此外，四元數的插值（如球面線性插值，slerp）提供了平滑的旋轉路徑，這在動畫和實時渲染中非常有用。
四元數在現代技術中的應用包括但不限於：
計算機圖形學中的三維模型旋轉
航空航天工程中的姿態控制
機器人學中的運動規劃
虛擬現實和增強現實中的頭部追蹤
遊戲開發中的角色和物體的旋轉
四元數的概念雖然相對複雜，但由於其在處理旋轉時的效率和穩定性，它們在需要高效、準確地處理旋轉操作的領域中得到了廣泛的應用。
接下來我們把它擴充套件到一般的五元數和55的矩陣中按標準矩陣運演算法則運算，來找出其規律！
在數學中，五元數（tenions）並不是一個像四元數（aternions）那樣廣為人知且有明確定義的代數結構。四元數是由威廉·羅恩·哈密頓（willia rowan hailton）在1843年提出的，它們構成一個四維的超複數系統，具有特定的乘法規則。然而，對於五元數或其他更高維度的超複數系統，並沒有一個統一的定義或者廣泛接受的乘法規則。
如果我們試圖構造一個五元數系統，我們可以考慮一個形如 ( q = a + bi + cj + dk + el ) 的表示式，其中 ( a, b, c, d, e ) 是實數，而 ( i, j, k, l ) 是五個虛部單位。但是，為了使這個系統成為一個代數，我們需要定義這些虛部單位之間的乘法規則，並且這些規則需要保證乘法的封閉性（即任意兩個五元數的乘積仍然是五元數）。
在四元數中，虛部單位 ( i, j, k ) 的乘法規則是精心設計的，以滿足特定的代數性質，例如無零因子（non-zero divirs）和結合律（asciativity）。然而，當我們嘗試擴充套件到五元數時，要保持這些性質變得非常困難。實際上，如果要求乘法結合律，那麼這樣的五元數系
