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當看到這麼多一級文明大世界的恆星和星系團的命運竟然是這樣的,你是什麼感覺?

就跟我們對待大海里的珍珠一樣的命運,到了二級文明大世界的環境就是一個裝飾品的命運。

在走到一處門店前時,我們看到一顆類似地球的玩意,因為在黑洞超級大的重力環境中,本來直徑幾萬公里的球體,在這裡,只有籃球大小的一顆,還被這些海族用一根海龍筋穿透,像單擺一樣掛在一個裝飾精美的門架上,來回的擺動著,運動軌跡如下:

單擺的常微分方程推導

單擺的運動可以透過牛頓第二定律來描述,該定律表明物體的加速度與作用在物體上的合外力成正比,並與物體的質量成反比。對於單擺,當擺角較小(通常小於10°)時,可以將擺球的運動簡化為沿著圓弧路徑的簡諧運動。在這種情況下,可以將重力分解為兩個分量:一個沿圓弧切線方向的分量,提供恢復力;另一個垂直於切線方向的分量,提供向心力。

牛頓第二定律的應用

設單擺的長度為 ( L ),擺球的質量為 ( m ),重力加速度為 ( g ),擺角為 ( \\theta )(以弧度為單位),則重力沿圓弧切線方向的分量為 ( mg\\sin(\\theta) )。根據牛頓第二定律,這個分量產生的加速度 ( a ) 可以表示為:

[ ma = mg\\sin(\\theta) ]

由於 ( a = L\\frac{d^2\\theta}{dt^2} ),可以將上述表示式重寫為:

[ mL\\frac{d^2\\theta}{dt^2} = mg\\sin(\\theta) ]

簡化得到單擺的常微分方程:

[ \\frac{d^2\\theta}{dt^2} = -\\frac{g}{L}\\sin(\\theta) ]

小角度近似

當擺角 ( \\theta ) 非常小,即 ( \\sin(\\theta) \\approx \\theta ) 時,可以進一步簡化上述微分方程為:

[ \\frac{d^2\\theta}{dt^2} = -\\frac{g}{L}\\theta ]

這是一個典型的簡諧運動的微分方程,其解是一個角位移與時間的正弦(或餘弦)函式。

能量守恆法

另一種推導單擺微分方程的方法是基於能量守恆定律。在沒有非保守力(如空氣阻力)的情況下,單擺的總機械能(動能加勢能)是守恆的。透過設定動能和勢能的表示式,並應用能量守恆定律,可以得到同樣的微分方程。

以上是單擺常微分方程的基本推導過程。在實際應用中,這個方程可以用於分析單擺的運動特性,包括週期、振幅等引數的計算.

若是你不好理解,那麼接下來我更進一步給你解釋一下:

單擺常微分方程的詳細敘述

單擺的運動可以透過多種不同的數學模型來表達,每種模型都從不同的物理視角出發,揭示單擺運動的本質。以下是對之前列出的8種單擺常微分方程形式的詳細敘述:

牛頓第二定律形式: [ \\ddot{\\theta} + \\frac{g}{L}\\sin(\\theta) = 0 ] 這是最基本的單擺微分方程,它直接來源於牛頓第二定律,描述了擺角隨時間變化的二階微分方程。

拉格朗日形式: [ \\frac{d}{dt}\\left(\\frac{\\partial t}{\\partial \\dot{\\theta}}\\right) - \\frac{\\partial t}{\\partial \\theta} + \\frac{\\partial V}{\\partial \\theta} = 0 ] 這裡 ( t = \\frac{1}{2}mL^2\\dot{\\theta}^2 ) 是動能,( V = -mgL\\cos(\\theta) ) 是勢能。拉格朗日方程透過能量的視角來描述單擺的運動。

哈密頓形式: [ \\dot{p} = -\\frac{\\partial h}{\\partial \\theta}, \\quad \\dot{\\theta} = \\fr

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