穹頂天魂的新書

第243章 本徵宇宙的命運 (第1/3頁)

當看到這麼多一級文明大世界的恆星和星系團的命運竟然是這樣的，你是什麼感覺？

就跟我們對待大海里的珍珠一樣的命運，到了二級文明大世界的環境就是一個裝飾品的命運。

在走到一處門店前時，我們看到一顆類似地球的玩意，因為在黑洞超級大的重力環境中，本來直徑幾萬公里的球體，在這裡，只有籃球大小的一顆，還被這些海族用一根海龍筋穿透，像單擺一樣掛在一個裝飾精美的門架上，來回的擺動著，運動軌跡如下:

單擺的常微分方程推導

單擺的運動可以透過牛頓第二定律來描述，該定律表明物體的加速度與作用在物體上的合外力成正比，並與物體的質量成反比。對於單擺，當擺角較小（通常小於10°）時，可以將擺球的運動簡化為沿著圓弧路徑的簡諧運動。在這種情況下，可以將重力分解為兩個分量：一個沿圓弧切線方向的分量，提供恢復力；另一個垂直於切線方向的分量，提供向心力。

牛頓第二定律的應用

設單擺的長度為 ( L )，擺球的質量為 ( m )，重力加速度為 ( g )，擺角為 ( \\theta )（以弧度為單位），則重力沿圓弧切線方向的分量為 ( mg\\sin(\\theta) )。根據牛頓第二定律，這個分量產生的加速度 ( a ) 可以表示為：

[ ma = mg\\sin(\\theta) ]

由於 ( a = L\\frac{d^2\\theta}{dt^2} )，可以將上述表示式重寫為：

[ mL\\frac{d^2\\theta}{dt^2} = mg\\sin(\\theta) ]

簡化得到單擺的常微分方程：

[ \\frac{d^2\\theta}{dt^2} = -\\frac{g}{L}\\sin(\\theta) ]

小角度近似

當擺角 ( \\theta ) 非常小，即 ( \\sin(\\theta) \\approx \\theta ) 時，可以進一步簡化上述微分方程為：

[ \\frac{d^2\\theta}{dt^2} = -\\frac{g}{L}\\theta ]

這是一個典型的簡諧運動的微分方程，其解是一個角位移與時間的正弦（或餘弦）函式。

能量守恆法

另一種推導單擺微分方程的方法是基於能量守恆定律。在沒有非保守力（如空氣阻力）的情況下，單擺的總機械能（動能加勢能）是守恆的。透過設定動能和勢能的表示式，並應用能量守恆定律，可以得到同樣的微分方程。

以上是單擺常微分方程的基本推導過程。在實際應用中，這個方程可以用於分析單擺的運動特性，包括週期、振幅等引數的計算.

若是你不好理解，那麼接下來我更進一步給你解釋一下:

單擺常微分方程的詳細敘述

單擺的運動可以透過多種不同的數學模型來表達，每種模型都從不同的物理視角出發，揭示單擺運動的本質。以下是對之前列出的8種單擺常微分方程形式的詳細敘述：

牛頓第二定律形式： [ \\ddot{\\theta} + \\frac{g}{L}\\sin(\\theta) = 0 ] 這是最基本的單擺微分方程，它直接來源於牛頓第二定律，描述了擺角隨時間變化的二階微分方程。

拉格朗日形式： [ \\frac{d}{dt}\\left(\\frac{\\partial t}{\\partial \\dot{\\theta}}\\right) - \\frac{\\partial t}{\\partial \\theta} + \\frac{\\partial V}{\\partial \\theta} = 0 ] 這裡 ( t = \\frac{1}{2}mL^2\\dot{\\theta}^2 ) 是動能，( V = -mgL\\cos(\\theta) ) 是勢能。拉格朗日方程透過能量的視角來描述單擺的運動。

哈密頓形式： [ \\dot{p} = -\\frac{\\partial h}{\\partial \\theta}, \\quad \\dot{\\theta} = \\fr