超神級學霸

第214章 順手的指點 (第3/5頁)

些？什麼意思？”一直沒說話的彼得·舒爾茨偏了偏頭，開口問道。

“有筆嗎？”喬澤看了彼得·舒爾茨一眼，問了句。

沒等彼得·舒爾茨有所反應，洛特·杜根連忙從兜裡抽了一支筆遞了過去。

喬澤拿起筆，直接開始在手稿上書寫起來，嘴裡隨口解釋著：“與其這樣間接轉換，不如直接用引入超越幾何來描述物體的位置。”

洛特·杜根伸著脖子看向喬澤寫下的內容，身邊的彼得·舒爾茨則開口說道：“這能行嗎？”

“當然，但需要使用一種基於超越幾何的新座標系，將每個物體的位置表示為超越數。”

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“等等，我不太明白，這樣難道不會讓計算變得更復雜？”

“不會，恰好相反，這樣其實允許我們更精確地描述物體之間的相互作用，特別是在物體非常接近的情況下，可以透過對其進行級數展開來近似計算相互作用力。而且不止是經典n體問題，同樣可以引申到相對論性n提問題。”

聽到喬澤的話，彼得·舒爾茨也忍不住站了起來，湊到了喬澤身邊開始看起了他在稿紙上的演算。

“這是橢圓模型？”

“對，先預設一個三體問題，將三體系統的每個物體的位置表示為橢圓函式的解。”

說完，喬澤又在手稿上寫下了三個公式。

[ x_i(t)= a_i \s(\oga_i t +\phi_i)，]

[ y_i(t)= b_i \s(\oga_i t +\phi_i)，]

[ z_i(t)= c_i \s(\oga_i t +\phi_i)，]

然後開口解釋道：“其中(a_i， b_i， c_i)分別是橢圓的半長軸、半短軸和半高軸，(\oga_i)是橢圓的角頻率，(\phi_i)是初始相位。”

洛特·杜根先是露出恍然的神色，隨後又皺著眉頭問道：“但這如何影響相互作用力的計算？”

“透過級數展開來逼近相互作用力，比如我們先考慮物體(i)和(j)之間的引力，那麼定義相互作用力為……”

說話間，喬澤又在手稿上寫出一串公式。

[\athbf{f}_{ij}=-g \frac{_i _j}{|\athbf{r}_i -\athbf{r}j|2}\hat{\athbf{r}}{ij}，]。

然後說道：“(g)是引力常數無需解釋，(_i， _j)分別是物體(i)和(j)的質量，(\hat{\athbf{r}}_{ij}=(\athbf{r}_j -\athbf{r}_i)/|\athbf{r}_j -\athbf{r}_i|)是單位向量。”

“這怎麼做級數展開？超越幾何學還涉及到力學的計算？”

“超越幾何學中允許使用逐項逼近技術，可以用於做級數展開，具體可得……”

[\frac{1}{|\athbf{r}_i -\athbf{r}j|}=\su{k=0}{\fty}\frac{\psi_k}{r{k+1}}，]

“對了，(\psi_k)就是係數。”

看著手稿上開始逐漸變得豐滿的公式，彼得·舒爾茨突然感覺人有些不好了，擰著眉頭說道：“不對，這樣會有級數展開的截斷誤差，這個誤差是不可控的吧？”

“有辦法的，你忘了今天我講解論文的時候是怎麼解決的嗎？設定一個截斷引數 n，僅考慮級數展開的前n項。只要n的值夠大，模型在數學上趨近於精確解。

當然涉及到天體位置計算，我們並不需要那麼高的精度，直接綜合考慮超算的效能跟所需要的精度，來設定截斷引數好了，起碼比去求解高階微分方程的計算量要少的多。”

洛特·杜根下意識的抬手比劃了兩下，忍不住問道：“這樣迭代求解的過程中，會遇到了數值不穩定性的問題，怎麼解決？”

“嗯？”

喬澤隨手寫下最後一筆，又仔細看了一遍自己的推導過程，這才將筆遞還給了洛特·杜根，開口道：“我記得有一種自適應步長的數值積分演算法，加上超越幾何在解決這種複雜問題時的優越性，應該能保證在物體之間距離較小時，數值解仍然穩定。

當然你們還可以用數值穩定性分析來調整演算法的引數。總之方法應該還有很多，不過讓我來