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82=8×8=64;

83=8×8×8=512;

84=8×8×8×8=4096。

這樣,我們就可以把7291寫為1×84加上6×83加上1×82加上7×81再加上3×80。(請你們自己把這個數算出來,並看看所得出的答數。)如果只寫出各次冪所要乘的數字,它就應當是16173。因此,我們可以說16173(八進位制)=7291(十進位制)。

八進位制的優點在於除了0以外,你只需記住七個數字。如果你想用數字8,那你可以寫出8×83,而這就等於1×84。因此,不管任何時候,你都可以用1來代替8。所以十進位制的8等於八進位制的10;十進位制的89等於八進位制的131,依次類推。但是,用八進位制時,一個數所用的總字數要比用十進位制時多。由此可見,基數越小,所用的不同數字越少,但總字數則越多。

當你用二十進位制時,7291這個數將成為18×202加上4×201再加上11×200。在這種情形下,如果你把18寫為#,並把11寫為%,你就可以說#4%(二十進位制)=7291(十進位制)。用二十進位制時你將不得不用19個不同的數字,但是每一個數所用的總字數就會少些。

十進位制是一種很方便的進位制。用這種進位制時,既不必記住過多的數字,而且在寫一個數時,又可不必用過多的字數。

什麼是二進位制數呢?在二進位制的情況下,7291這個數等於1×212加上1×211加上1×210加上0×29加上0×28加上0×27加上1×26加上1×25加上1×24加上1×23加上0×22加上1×21再加上1×20。(請你們自己把這個數算出來,看看得出什麼結果。但要記住29是9個2的乘積,亦即2×2×2×2×2×2×2×2×2=512。)如果只寫出數字,那就是1110001111011(二進位制)=7291(十進位制)。

由於二進位制數只需要用兩個數字,即1和0,所以做加法和乘法演算特別簡單。但是即使一個很小的數,例如7291,也要用很多位數表示,因而很容易在我們頭腦中造成混亂。

但是,電子計算機則可以使用一個雙向開關。把開關撥向某一方向,即把電流接通時,它就代表1。把開關撥向另一方向,即把電流斷開時,它就代表0。這樣,透過操縱電路,使它根據二進位制的加法和乘法規則接通和斷開,計算機就能以非常快的速度進行算術演算。同按十進位制原理設計、用標有0到9的齒輪來進行演算的普通臺式計算器相比,它的演算速度要快得多。

第6節

大多數人最為熟悉的數有兩種,即正數(+5,+17.5)和負數(-5,-17.5)。負數是在中世紀出現的,它用來處理3-5這類問題。從古代人看來,要從三個蘋果中減去五個蘋果似乎是不可能的。但是,中世紀的商人卻已經清楚地認識到欠款的概念。“請你給我五個蘋果,可是我只有三個蘋果的錢,這樣我還欠你兩個蘋果的錢。”這就等於說:(+3)-(+5)=(-2)。

正數及負數可以根據某些嚴格的規則彼此相乘。正數乘正數,其乘積為正。正數乘負數,其乘積為負。最重要的是,負數乘負數,其乘積為正。

因此,(+1)×(+1)=(+1);(+1)×(-1)=(-1);(-1)×(-1)=(+1)。2米2花2書2庫2 http://www。7mihua。com

現在假定我們自問:什麼數自乘將會得出+1?或者用數學語言來說,+1的平方根是多少?

這一問題有兩個答案。一個答案是+1,因為(+1)×(+1)=(+1);另一個答案則是-1,因為(-1)×(-1)=(+1)。數學家是用√ ̄(+1)=±1來表示這一答案的。(碧聲注:(+1)在根號下)

現在讓我們進一步提出這樣一個問題:-1的平方根是多少?

對於這個問題,我們感到有點為難。答案不是+1,因為+1的自乘是+1;答案也不是-1,因為-1的自乘同樣是+1。當然,(+1)×(-1)=(-1),但這是兩個不同的數的相乘,而不是一個數的自乘。

這樣,我們可以創造出一個數,並給它一個專門的符號,譬如說#1,而且給它以如下的定義:#1是自乘時會得出-1的數,即(#1)×(#1)=(-1)。當這種想法剛提出來時,數學家都把這種數稱為“虛數”,

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