黑洞

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上面，它就會變形，凹下一個坑，球的質量越大，凹得就越深。這種似乎是空想的表示方式，可以用所謂鑲嵌圖來使之具有數學上的嚴格性，本書第12章將對此作詳細介紹，以解釋黑洞的某些奇特性質。圖16用這種方式來表現光線經過太陽附近時的偏折，以及日食時對恆星視位置的觀測結果。

愛因斯坦方程

隨著愛因斯坦的預言被首次宣佈獲得證實，關於物理學家將必須研究張量理論的觀點才真正激起他們的巨大熱情。

——（　A·Whitehead）（　1920）

所有理論都有自己的方程式。愛因斯坦引力場方程把時空變形的程度與引力源的性質和運動聯絡了起來，物質告訴時空必須如河彎曲，而時空告訴物質必須如何運動。

愛因斯坦方程是極為複雜的，其中涉及的物理量不再只是力和加速度，而是還有距離和時間間隔。它們是張量，這種量的每一個都像一張有著多項條目的表格，包含著關於幾何和物質的所有資訊。

引力對物質的作用比電力更為複雜，從而需要有比標量（純數）和向量（有三個分量）更復雜的數學術語來進行描述。為認識這一點，我們可回顧在牛頓引力理論中只有物體的引力質量才是引力源，這個質量是由一個固著地聯絡於物體的純數來表示的。在愛因斯坦理論中，引力質量只是與物體相聯絡的總引力量的一個分量。狹義相對論（它對於一個引力可看作均勻的小時空區域總是適用的）已經證明，所有形式的能量都與質量等價，從而都能產生引力。一個物體的能量是與觀測者的相對運動有關的。對於一個靜止物體，所有的能量都包括在它的“靜質量”中（E＝thC‘！）；但物體一且運動，其動能就會產生質量，從而產生引力。要計算一個物體的引力效應，就必須把它的靜止能量與描述其運動的“動量向量”結合起來，這就是對引力源的完整描述需要使用“能量一動量張量”的緣故。

更有甚者，對時空中的每一點都需要20個數來描述其彎曲情況。時間和空間的幾何變形因此需要有“曲率張量”（我們記得，曲率隨著維數的增多變得越來越複雜）。愛因斯坦方程正是描述曲率張量與能量一動量張量之間的關係，把二者分別放在一個等式的兩邊：物質製造曲率，而曲率使物質運動。

本書並不試圖詳細講述愛因斯坦方程。曲率張量和能量一動量張量的不同分量是如此緊密地相互聯絡著，以至於一般說來不可能找到方程的精確解，甚至不可能從整體上定義什麼是空間，什麼是時間。我們不得不把引力源加以理想化，才有可能算出一點什麼來。有鑑於此，迄今已找到的解（描述著各種彎曲時空）大多與真實的時空毫不相干。在這個意義上，愛因斯坦方程的內涵是太豐富了，它允許無數個有著稀奇古怪性質的理論上的宇宙。

這種豐富性或許損害了愛因斯坦理論的可信性，但是，我們不要由此以為廣義相對論只預言那些不可能觀測或是超越人類理解力的東西。恰恰相反，愛因斯坦既是一位物理學家，也是一位哲學家，他試圖描述我們的這個宇宙，並且從太陽系開始。運用他的方程的近似解，他首先計算出了太陽系裡三個不能由牛頓引力定律得出而又可觀測的引力效應：太陽附近光線的偏折，水星軌道的異常，引力場中電磁波頻率的變小。下一節將講述廣義相對論這三個預言的成功。

除此之外，還有一些自然界存在的情況，其中對引力源所作的簡化被證明是完全合理的，相應得出的愛因斯坦方程精確解就能對宇宙的這一部分或那一部分給出很好的描述。看似奇怪的是，這種簡化在兩個極端的距離尺度上最富成效。我們能夠計算真空中一個孤立物體所產生的引力場（也就是該物體周圍的時空變形）。一顆恆星的周圍區域（例如太陽系）或一個黑洞的附近，都能由這個解來很好地描述，因為這些情況的物質高度集中於一個小時空區域，周圍近乎真空。在另一個極端，我們能夠計算宇宙整體的平均引力場（宇宙的整體幾何），因為在很大的尺度上物質是大致均勻地鋪開的，星系就像是均勻的宇宙氣體中的分子。廣義相對論因而使我們能建立宇宙學，即研究宇宙整體的形狀和演化。在相對論天體物理學於70年代出現之前，宇宙學是廣義相對論真正得到應用的唯一領域，當然，是和黑洞一起。

廣義相對論的第三個主要應用，即引力波，恐怕不得不等到對世紀。愛因斯坦方程在引力理論中的地位，相當於麥克斯韋方程之於電磁學。現在我們都知道電荷的加速產生電磁波，類似地，廣義相對論預言引力源的運動也