黑洞

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然而困難正是從這裡開始，隨著向點狀引力源的趨近，時空幾何出現奇異行為。更精確地說，奇異性在！臨界距離r＝ZGM／c‘處開始出現，這裡M是中心星的質量，G是牛頓的萬有引力常數，C是光速（以下將把這個式於簡化成r一ZM，即透過適當選取質量、長度和時間的單位而使G和C都等於1）。這個臨界距離與引力質量成正比，對太陽質量是3公里，對100萬倍太陽質量是300萬公里，對地球則是1厘米。這個距離就叫做史瓦西半徑，它不是別的，正是按照牛頓方式計算的表面逃逸速度達到光速的星體尺度。史瓦西自己並不知道，正是他為米切爾和拉普拉斯那已被遺忘的關於不可見星的猜測開啟了通道。

魔圈

在由史瓦西解到黑洞理論的道路上，似乎有著兩個陷跳，一個是數學的，另一個是天文學的。

按照史瓦西解，在臨界半徑／＝ZM以內，空間和時間都喪失了自己的特徵。在這個半徑以外用以測量距離和時間的規則都失效了，時間趨於無限，而距離變成零。愛丁頓曾把時空幾何中的這種奇異性描述為“我們無法在其中進行任何測量的魔圈”。

魔圈問題在1922年巴黎研討會上引起了熱烈的討論。這個會上聚集了以愛因斯坦為中心的一群最好的相對論學家。包括約翰·貝奎爾（Jean　Becquerel）、亨利·布里羅因（HenriBrillouin）、埃裡·嘉當（Elie　Cartan）、雅克·哈達瑪（JacquesHadamard）和泡爾·郎之萬。然而，這個理論物理學家陣容仍不能解決臨界半徑所提出的數學問題，他們充其量也只是覺得可能與引力收縮有關。

在很長時間裡魔圈被認為是廣義相對論的一個缺陷，在這個問題上的進展因而被阻礙了。直到50年代，理論家們才對史瓦西半徑上的奇異性的解釋獲得共識，時空幾何的“病態”行為只是一起數學事故。戴維·芬克斯坦（David　Finkels比in）證明，這是座標系選擇不當的結果（按照廣義相對論，所有座標系都能等價地用於描述物理現象，但是在某些座標系中的計算會比在別的系中簡單得多）。在此之前許多年，愛丁頓曾經找到一個座標系，在其中史瓦西幾何沒有魔圈，但是他沒能或不願看到進一步的結果，因為他在一心想著另外一個天文學的問題，即引力收縮的恆星。

不可見星的重現

太陽這樣的恆星能自己收縮成半徑為3公里的球的思想，在20世紀初同在拉普拉斯時代一樣不被接受，因為它所要求的物質密度是無法想象的。1931年，日本物理學家獲原雄助寫了一篇很有趣的數學論文，其中計算了史瓦西時空的所有測地線，包括穿過魔圈的那些，他的結論是：“對於任何一顆恆星，rZ　ZM這個距離落在其實際半徑外面是很不可能的。要使質量與太陽相當的恆星的半徑等於ZM這個值，其密度就必須是水的10‘’倍，而最緻密的恆星，即作為天狼星伴星的那顆白矮星，其密度也只是水的6X　104倍（後來的觀測表明白矮星的密度比這個計算值大十倍，見第5章）。能達到如此驚人之高的臨界密度的恆星物質狀態是不存在的，因此在r＝ZM以內的軌道從物理上看是高度地不可能的。”

這段引文準確地概括了大多數天體物理學家的務實觀點。他們只對史瓦西幾何的外部區域有興趣，因為能應用於太陽系，而他們完全不理會臨界半徑上的奇異行為。

然而，畢竟有一些人敢於向前邁進。

1920年，安德森（A·Anderson）向自己提出一個恆星的體積收縮到接近其“魔圈”時會發生什麼的問題，並回答道：“如果太陽持續地收縮，終將有一天它會消失在黑暗中。這並不是因為它不再發光，而是因為它的引力場變得使光不能透過。”一年後，奧利弗·洛奇（O－liver　Lodge）爵士幾乎逐字重複了米切爾和拉普拉斯的推斷：“如果光受引力作用……一個質量足夠大並足夠密集的物體將能夠留住光，使之不能射出…··咖果太陽這麼大的質量能收縮到一個半徑約3公里的球內，這樣一個球將具有上面所說的性質，但是這種程度的收縮是超出理性認可的範圍的……然而，一個恆星系統，比如說一個超旋渦星雲，如果總質量為太陽的10’5倍而半徑為300秒差距，則相應的平均密度只有10－15克／立方厘米，而光也不能從中逃逸。這樣一種物質聚集狀態看來就不是完全不可能了。”

按照這個分析，如果說天體物理學家仍然難以接受質量為幾個M的恆