日常生活工作學習知識積累

－1/4cos2φ＋C1和1/2sinφ＾2＋C2 (第1/1頁)

首先，我們來看兩個給定的表示式：

$-\\frac{1}{4}\\cos 2\\varphi + c_1$ 和 $\\frac{1}{2}\\sin^2\\varphi + c_2$

其中 $c_1$ 和 $c_2$ 是常數。

步驟1：利用三角恆等式化簡第二個表示式

我們知道三角恆等式：

$\\sin^2\\varphi = \\frac{1 - \\cos 2\\varphi}{2}$

將這個恆等式代入第二個表示式中，得到：

$\\frac{1}{2}\\sin^2\\varphi = \\frac{1}{2} \\times \\frac{1 - \\cos 2\\varphi}{2} = \\frac{1}{4} - \\frac{1}{4}\\cos 2\\varphi$

所以，第二個表示式可以寫為：

$\\frac{1}{4} - \\frac{1}{4}\\cos 2\\varphi + c_2$

步驟2：比較兩個表示式的等價性

現在，我們已經將第二個表示式化簡為與第一個表示式相似的形式。觀察兩者，我們發現它們的主要部分都是 $-\\frac{1}{4}\\cos 2\\varphi$，只是常數項和常數的符號不同。

具體來說，第一個表示式中的常數是 $c_1$，而第二個表示式中的常數是 $\\frac{1}{4} + c_2$。為了使兩個表示式完全相等，我們需要有：

$c_1 = \\frac{1}{4} + c_2 - \\text{某個整數}k$

其中 $k$ 是一個整數，因為三角函式的週期性質可能允許我們在常數項上加減整數個 $\\pi$（或等價的數值）而不改變函式的本質。但在這裡，我們沒有足夠的資訊來確定 $k$ 的具體值。不過，如果我們只關注表示式是否可以透過調整常數項而相互轉化，那麼可以說它們是“等價”的（在忽略週期性差異的情況下）。

結論：

雖然兩個表示式中的常數項不完全相同，但它們都可以透過調整常數項來使主要的三角函式部分相匹配。因此，在忽略週期性差異和常數項的具體數值差異的情況下，我們可以認為這兩個表示式是等價的。

設方程 A(x)=0 是由方程 b(x)=0 變形得來的,如果這兩個方程的根完全相同(包括重數),那麼稱這兩個方程等價。

林悅站在講臺上，黑板上還留著剛剛推導這兩個表示式等價的過程。臺下的學生們一臉茫然，畢竟這數學知識有些晦澀難懂。

“同學們，就像生活中的許多事情一樣，看似不同卻有著內在的聯絡。”林悅試圖用一種更通俗的方式解釋，“就好比兩個人，表面上看性格、習慣大相徑庭，但深入瞭解後會發現，他們在某些關鍵之處是相通的，就像這兩個表示式。”

這時，班裡最調皮的男生舉手提問：“老師，那愛情也能用這種數學關係表示嗎？”全班鬨堂大笑。林悅卻笑了笑，“從某種意義上來說，也許可以。兩個人相遇之初就像原始的表示式，各自帶著不同的‘常數’，隨著相處，互相影響、磨合，就如同調整常數項以達到‘等價’，最終在彼此心裡成為最合適的存在。”教室裡瞬間安靜下來，大家彷彿進入了一個全新的思考維度。